:: Anmerkung vom Radpanther
Na, toll...steht doch immer noch überall r und &phi drin, wo isn da der Mittelwert über alle Speichen und alle Speichenteile?
Ist doch ganz einfach. Was macht der kleine Panther, wenn er eine kontinuierlich verteilte Grösse mitteln will? Er integriert einfach auf und teilt durch die Intervallbreite des Integrationsbereiches!
:: Abschied vom Radpanther
Ich geh jetzt radfahren...Du kannst ja weiter am Rad drehen.
Ok, dann nehm ichs vorweg:
Die mittlere Geschwindigkeit einer Speiche am Fahrrad ist 1,15 mal so gross wie die Geschwindigkeit vom Fahrrad (VT) selber. Um genau zu sein &radic(4/3) mal so gross. Das gilt aber nur, falls die Speiche genau so lang ist, wie der Durchmesser des Laufrades. Wird die Speiche kleiner so geht die mittlere Geschwindigkeit allmählich auf VT zurück.
:: Berechnung der mittleren quadratischen Geschwindigkeit
Wir integrieren über eine volle Umdrehung der Speiche (0-2&pi) und eine volle Speichenlänge (0-R):
Kann jeder mit Schulmathematik nachrechnen, die Stammfunktionen sind ganz easy. Das heisst also: Die mittlere quadratische Bahngeschwindigkeit aller Punkte auf einem abrollenden Kreis ist um den Faktor 4/3 grösser als die Translationsgeschwindigkeit des Kreismittelpunktes. Und da eine rotierende Speiche mit der Länge R pro Umdrehung des Laufrades die gesamte Kreisfläche überstreicht, muss diese mittlere quadratische Geschwindigkeit auch zur Berechnung der mittleren Luftwiderstandskraft verwendet werden:
Woran liegt das nun? Die Translationsbewegung des Kreismittelpunktes (Nabe) zeigt immer in x-Richtung, die Kreisbewegung hat aber x- und y-Komponenten, die in alle Richtungen zeigen können. Je nach Drehwinkel kann sich die x-Komponente der Kreisbewegung zur Translation addieren oder subtrahieren, so dass die Gesamtgeschwindigkeit zwischen 0 (Auflagepunkt, &phi=0°, 360°) und 2VT (Hochpunkt, &phi=180°, r=R) schwanken kann. Und die Addition auf maximal 2VT führt dazu, dass der Mittelwert über alle Geschwindigkeiten grösser ist als VT!
Zur Nabe hin nimmt das Geschwindigkeitsquadrat natürlich rapide ab:

Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsquadrat und Drehwinkel auf verschiedenen Radien r (im Verhältnis zu R).
Es ist klar, dass der Beitrag zur Luftwiderstandskraft aussen am Laufrad grösser ist als in der Mitte und genau deswegen baut man Hochprofilfelgen, dann sind nämlich die Speichen kürzer und knallen an ihren äusseren Enden weniger schnell mit den Luftmolekülen zusammen.
:: Mittlere quadratische Geschwindigkeit für kurze Speichen
Wir integrieren wieder über eine volle Umdrehung der Speiche (0 bis 2&pi) aber jetzt nur bis zur kürzeren Speichenlänge l (0 bis l, l < R) !:
Der Faktor vor vT2 schwankt also zwischen 1 und 4/3, je nach der Länge unserer Speichen:

Der Geschwindigkeits-Korrekturfaktor &alpha als Funktion des Speichenlängenverhältnisses l / R
:: Mittlerer Leistungsbedarf eines Laufrades.
Alles zusammengesetzt ergibt sich also die aus dem Luftwiderstand der Speichen resultierende Leistung, die pro Laufrad zu investieren ist, zu:
Der dritte VT-Faktor ergibt sich wieder aus Leistung = Kraft x Geschwindigkeit. n ist natürlich die Anzahl der Speichen. Setzen wir doch mal ein paar Werte ein, um uns eine Vorstellung von der Grössenordnung dieser Leistung zu machen. Sei dazu &rho = 1,2 kg/m3, R = 33 cm und cW = 1, passend zur Reynoldszahl bei den hier betrachteten Geschwindigkeiten, siehe den drag calculator.
Die Speichenbreite d sei 2mm und damit ASpeiche=Länge x 2 mm:
Länge [mm] Anzahl P 30 km/h [W] P 40 km/h [W] P 50 km/h [w]
300 32 8,5 20,2 39,4 (30,9)
260 16 3,5 8,3 16,1 (13,4)
300 16 4,3 10,1 19,7 (15,4)
Nochmal: Angegeben ist die Leistung pro Laufrad! Beispiel 1 ist ein klassisches 32-Speichenlaufrad, Beispiel 2 eins vom Typ Cosmic Carbon mit 16 Speichen und Hochprofil, Beispiel 3 eine Mischung aus beidem. Grob kann man also festhalten: Mit 16 Speichen muss man bei 30 km/h etwa 5 Watt, bei 40 km/h 10 Watt und bei 50 km/h 20 Watt investieren. Der bei 50m km/h in Klammern angegebene Wert würde sich ergeben, wenn man nicht unseren Korrekturfaktor berücksichtigen würde und nur mit VT3 rechnen würde.
Man sieht sofort: mit einem klassischen Laufrad kann kein Profi der Welt ein Einzelzeitfahren gewinnen, da er für 50 km/h um die 40 Watt mehr Leistung aufbringen muss, nur um die vielen und zu langen Speichen durch die Luft schieben zu müssen. Und das sind 2 volle Stufen beim Standard-Leistungstest, also Welten am Leistungslimit!
:: Eine Anmerkung
Rapa-Surfer Kurt macht darauf aufmerksam, dass wir zur Berechnung des Luftwiderstandes der Speichen eigentlich nur die Komponente der Bahngeschwindigkeit eines Speichensegmentes nehmen dürfen, die senkrecht zur Stirnfläche der Speiche steht! Klingt kompliziert, ist aber recht einfach. Wir sparen uns jetzt mal den Umweg über die Zykloidenkoordinaten und berechnen diese Komponente direkt. Der Rotationsanteil der Geschwindigkeit ist einfach, weil dieser natürlich immer senkrecht auf der Speiche, sprich dem Radius der Kreisbewegung, steht. Und den Anteil der Translationsgeschwindigkeit, der zur Speiche senkrecht steht, können wir aus dem Winkel &phi(t) berechnen (siehe Bild):
Die gesuchte Geschwindigkeitskomponente VS ist demnach
VS=&omega r - VT cos(&phi)
Wie gehabt berechnen wir das mittlere Quadrat dieser Geschwindigkeit über &phi und r:
Man erkennt, dass für den Fall r=R (lange Speiche) anstelle des Faktors 4/3 nun 5/6 tritt und damit die mittlere Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Speiche nur noch 0,91 VT beträgt. Damit würden wir also entsprechend kleinere Leistungen berechnen.
Nee, jetzt wird gar nix mehr berechnet, vergleichen wir mal lieber die graue Theorie mit den alljährlich in den veröffentlichten Laufradtests angegebenen Werten.
:: Messungen
Sehen wir uns mal die vom Tour-Magazin (9/2005) gemessenen Werte an. Die Laufräder wurden auf einem Laufband in Rotation versetzt und mit der passenden Windgeschwindigkeit angeströmt:
Typ Speichen P 30 [W] P 40 [W] P 50 [w]
Tempest II Carbon 18 4,7 11,1 21,6
Lightweight 20 5,4 12,7 24,8
Cosmic Carbone SL 16 4,7 11,2 21,9
Olympic Gold 16 5,2 12,3 24,1
Xentis 4 5,4 12,8 25,0
Zipp 808 18 3,9 9,3 18,1
Kastenfelge 32 - - 48
Auch hier beziehen sich die Angaben wieder auf ein einzelnes Rad, das Vorderrad. Man sieht, dass unsere Rechnung den Kern der Sache trifft, und das obwohl wir ausschliesslich die Speichen betrachtet haben, nicht die anderen Bauteile, auch keine Dimples auf den Felgen, Messerspeichen und Tropfenprofile oder ähnlichen Schnickschnack. Die reine Querschnittsfläche des Laufrades haben wir auch nicht beachtet, daher fallen die berechneten Werte eben etwas kleiner aus, als die gemessenen. Zuerst ist die Anzahl der Speichen entscheidend, dann erst kommt das Hochprofil. Die wenigen aber dafür riesigen "Speichen" des Xentis scheinen nicht so der Bringer zu sein. Das Gesagte gilt immer für Anströmung direkt von vorne, Seitenwind ist ein anderes Thema und da scheint die Felgenform dann doch sehr wichtig zu werden (siehe besagter Artikel). Aber: Beim Test vom Triathlon-Magazin 12/05 kommen die Xentis dann wieder besser weg (kann man sich auf der Xentis-HP runterladen). Da wird nämlich direkt am lebenden Objekt gemessen, und der Leistungsaufwand bei 45 km/h für verschiedene Laufradsätze per SRM am Rad auf der Bahn gemessen. Prinzipiell sind die Grössenordnungen aber immer dieselben. Da ergibt auch der neuere Test im Tourmagazin 6/2006 nichts wesentlich neues. Sprich : bei Hobbyfahrer's 30 km/h ists aerodynamisch egal was man fährt, erst im Zeitfahrerbereich 45-50 km/h muss man aufs Material achten (und sollte nicht mit Ksyriums oder klassichen LR daherkommen).
:: Neue Frage vom Radpanther
Na gut, habs einigermassen gerafft, bis auf das mit den "Integren Zahlen" oder wie das hiess. Nächste Frage: Was hat es mit dem Trägheitsmoment des Laufrades auf sich? Bei den Tests steht da immer was von der Beschleunigungsenergie. Ist das auch wichtig?
Um es ganz klar zu sagen: NEIN!.
Die angegebene Beschleunigungsenergie für das Laufrad gibt an, wieviel Energie man aufwenden muss, um das Laufrad mit einer bestimmten Drehzahl in Rotation zu versetzen. Und im Vergleich zur gesamten Energie, die ich aufwenden muss, um das ganze Rad samt Fahrer auf Touren zu bringen, ist dieser Beitrag sehr gering. Soll ich es Dir vorrechnen?
Na gut, wenn Du schon mal dabei bist. Was is' nu das "Trägheitsmoment"?
Weisst Du, was die träge Masse ist?
Meinste den Wombat?
Nein, Trägheit ist die Eigenschaft eines Körpers, sich gegen Änderung seines Bewegungszustandes zu wehren, wie schon Sir Isaac feststellte. Wenn ich einen Körper beschleunigen will muss ich eine Kraft aufwenden, um diese Trägheit zu überwinden. Und je grösser seine (träge) Masse ist, um so mehr Kraft ist nötig. Logo?
Bin ja nicht blöd.
...und weiter